九章算法笔记D1-动态规划概述

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D1 动态规划概述

动态规划的组成状态

  1. 确定状态
    • 最后一步(最优策略中使用的最后一枚硬币ak)
    • 化成子问题(最少的硬币拼出更小的面值27-ak)
  2. 确定转移方程
    • f[x]=min{f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1}
  3. 初始条件和边界情况
    • f[0]=0,如果不能拼出Y,f[Y]=正无穷
  4. 计算顺序
    • 一般从小到大(避免重复计算)

最值型-硬币

Problem

你有三种硬币,分别面值2元,5元和7元,每种硬币都有足够多,买一本书需要27元,如何用最少的硬币组合正好付清,不需要对方找钱

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				//	A:{2,5,7}  M:27
public int coinChange(int[] A,int M){
//0...n-1 :[n]
//0...n :[n+1]
int[] f = new int[M+1];//这里要用到27,故开辟M+1
int n = A.length;//硬币的个数
f[0]=0;
int i,j;
//f[1],f[2],...,f[27]
for(i=1;i<=M;i++){
f[i]=Integer.MAX_VALUE;
//f[i]=min{f[i-A[0]]+1,...,f[i-A[n-1]]+1}
for(j=0;j<n;j++){
//如果数组不越界,且不超出最大值
if(i>A[j] && f[i-A[j]]!=Integer.MAX_VALUE){
f[i]=Math.min{f[i-A[j]]+1,f[i]};
}
}
}
if(f[M]==Integer.MAX_VALUE){
f[M]=-1;
}
return f[M];
}

计数型-机器人

Problem

给定m行n列的网格,有一个机器人从左上角(0,0)出发,每一步可以向下或者向右走一步,问有多少种不同的方式走到右下角(m-1,n-1)

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public int uniquePaths(int m,int n){
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for(i=0;i<m;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(i==0||j==0)
f[i][j]=1;
else
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
}
}
}

存在型-青蛙跳石子

Problem

有n块石头分别在x轴的0,1,。。。,n-1位置.一只青蛙在石头0,像跳到石头n-1。如果青蛙在第i块石头上,他最多可以向右跳距离ai。问青蛙能否跳到石头n-1

Example

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Input:a=[2,3,1,1,4]
Output:True
Input:a=[3,2,1,0,4]
Output:False
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public boolean canJump(int[] A){
int n = A.length;
boolean[] f = new boolean[n];
f[0]=true;//initialization
for(int j=1;j<n;j++){
f[j] = false;
//previous stone i
//last jump is from i to j
for(int i=0;i<j;i++){
if(f[i]&&i+A[i]>=j){
f[j] = true;
break;
}
}
}
return f[n-1];
}

机器人2(坐标型)

Problem

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?

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public int uniquePathsWithObstacles(int[][] A){
int m = A.length;
if(m==0){
return 0;
}
int n = A[0].length;
if(n==0){
return 0;
}
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for(i=0;i<m;i++){
for(j=0;j<n;j++){
//Obstacles
if(A[i][j]==1){
f[i][j]=0;
continue;
}
//top-left
if(i==0&&j==0){
f[i][j]=1;
continue;
}
f[i][j]=0;
//若不为第一行
if(i>0){
f[i][j]+=f[i-1][j];
}
//若不为第一列
if(j>0){
f[i][j]+=f[i][j-1];
}
//若两个条件都成立,则为f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
}
}
return f[m-1][n-1];
}

leetcode256-粉刷房子(序列型)

题目描述

假如有一排房子,共 n 个,每个房子可以被粉刷成红色、蓝色或者绿色这三种颜色中的一种,你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

当然,因为市场上不同颜色油漆的价格不同,所以房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。每个房子粉刷成不同颜色的花费是以一个 n x 3 的矩阵来表示的。

例如,costs[0][0] 表示第 0 号房子粉刷成红色的成本花费;costs[1][2]表示第 1 号房子粉刷成绿色的花费,以此类推。请你计算出粉刷完所有房子最少的花费成本。

注意:

所有花费均为正整数。

示例:

输入: [[17,2,17],[16,16,5],[14,3,19]]
输出: 10
解释: 将 0 号房子粉刷成蓝色,1 号房子粉刷成绿色,2 号房子粉刷成蓝色。
最少花费: 2 + 5 + 3 = 10。

分析

确定状态:

  • 不知道房子N-2是什么颜色,就把它记录下来
  • 分别记录油漆前N-1栋房子并且房子N-2是红色、蓝色、绿色的最小花费

子问题:设油漆前i栋房子并且房子i-1是红色、蓝色、绿色的最小花费分别为f[i][0]、f[i][1]、f[i][2]

转移方程:

  • f[i][0]=min{f[i-1][1]+cost[i-1][0],f[i-1][2]+cost[i-1][0]}
  • f[i][1]=min{f[i-1][0]+cost[i-1][1],f[i-1][2]+cost[i-1][1]}
  • f[i][2]=min{f[i-1][0]+cost[i-1][2],f[i-1][1]+cost[i-1][2]}
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public int minCost(int[][] c){
int n = c.length;
if(n==0){
return 0;
}
//sequence type DP
int[][] f = new int[n+1][3];
f[0][0]+f[0][1]+f[0][2]=0;
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++){
//color of house i-1: j
for(j=0;j<3;j++){
f[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
//color of house i-2: k
for(k=0;k<3;k++){
if(j!=k){
f[i][j]=Math.min(f[i][j],f[i-1][k]+c[i-1][j]);
}
}
}
return Math.min(f[n][0],Math.min(f[n][1],f[n][2]));
}
}

Decode Ways

题意:

有一段由A-Z组成的字母串信息被加密成数字串,加密方式为:A->1,B->2,… ,Z->26,给定加密后的数字串S[0…N-1],问有多少种方式解密成字母串

样例

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Input
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Output
2(AB or L)

分析

状态:设数字串S前i个数字解密成字母串有f[i]种方式

转移方程:设数字串S前i个数字解密成字母串有f[i]种方式

` f[i] = f[i-1]|S[i-1]对应一个字母 + f[i-2]|S[i-2]S[i-1]对应一个字母`
  • 数字串S前i个数字解密成字母串的方式数
  • 数字串S前i-1个数字解密成字母串的方式数
  • 数字串S前i-2个数字解密成字母串的方式数
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public int numDecodings(String ss){
char[] s = ss.toCharArray();
int n = s.length;
if(n==0)return 0;
int[] f = new int[n+1];
f[0]=1;
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++){
f[i]=0;
if(s[i-1]>='1'&&s[i-1]<='9'){
f[i]+=f[i-1];
}
//check whether i>1
if(i>1){
//s[i-1][i-1]
j=10*(s[i-2]-'0')+(s[i-1]-'0');
if( j>=10 && j<=26){
f[i] += f[i-2];
}
}
}
return f[n];
}

2020年7月9日更