分治 芯片测试

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1. 芯片测试

在讲解具体的芯片测试的分治策略算法之前，先来了芯片测试的意思

1.1 一次测试的过程

在这里插入图片描述

如上图，A、B为芯片。测试方法为：将2片芯片（A和B）置于测试台上，互相进行测试，测试报告是“好”或者“坏”，只取其一。

  • 假设：好芯片的报告一定是正确的，坏芯片的报告是不确定的（可能会出错）

那么上述测试的结果有四种可能,如下图:

在这里插入图片描述

上面的结果应该不难理解

那么现在问题来了:

  • 输入：n片芯片，其中好芯片，至少比坏芯片多一片
  • 问题：设计一种测试方法，通过测试从n片中挑出1片好芯片
  • 要求：使用最少的测试次数

    1.2 如何测试一块芯片的好坏

    针对上述问题，现在先来研究一下，如何在上述n片芯片中，测试出A是好芯片还是坏芯片？

    • 问题：给定芯片A，判定A的好坏
    • 方法：用其他n-1片芯片对A进行测试。

假设：n=7:好芯片数>=4

  1. A好，6个芯片中至少3个报“好”
  2. A坏，6个芯片中至少4个报坏

所以对于n是奇数情况下：好芯片数>=（n+1）/2
A好，至少有(n-1)/2个报“好”
A坏，至少有(n+1)/2个报“坏”

结论：
至少一半报好，A是好芯片
超过一半报坏，A是坏芯片

假设: n=8:好芯片数>=5

  1. A好，7个芯片中至少4个报“好”
  2. A坏，7个芯片中至少5个报“坏”

所以对于n是偶数：好芯片数 >= n/2+1.
A 好, 至少有 n/2个报告“好”
A 坏, 至少有 n/2+1个报告“坏”

结论：n-1份报告中
至少一半报好，A是好芯片
至少一半报坏，A是坏芯片

上面的分析，已经很清晰，我们已经知道如何测试一块芯片的好坏。那么人们最拿手的方法就是：暴力算法（蛮力算法）可以直接写代码了。。。

1.3 蛮力算法

测试算法：任取 1片测试，如果是好芯片，测试结束；如果是坏芯片，抛弃，再从剩下芯片中任取 1片测试，直到得到 1片好芯片

时间估计：

第一片是坏芯片，最多测试n-2次
第二片是坏芯片，最多测试n-3次
…

总计：Θ(n^2 )

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#include<iostream>
#include<cmath>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#define MAX 100
using namespace std;

int main(){
    int n;
    int a[MAX];
    while(cin>>n){
        srand(time(NULL));
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++){   /*芯片编号为数组下标，从1开始*/
             cin>>a[i];             /*数组值代表芯片好坏，1为真0为假*/
        }
        int cnt=0;                  /*查找次数*/
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int sum=0;
            for(int j=1;j<=n;j++){
                cnt++;
                if(i!=j&&a[i]==1&&a[j]==1)   /*两片芯片都是好的*/
                    sum++;
                    if(i!=j&&a[i]==1&&a[j]==0)   /*测试芯片是坏的*/
                        sum+=rand()%2;
                    if(i!=j&&a[i]==0&&a[j]==0)   /*两片芯片都是坏的*/
                        sum+=rand()%2;
                }
                if(sum>=n/2){
                    cout<<"查找次数："<<cnt<<endl;
                    break;
                }
            }
        }
        return 0;
}

可见时间复杂度之高，数据量一多，肯定会超时。

1.4 分治算法设计思想

在分析分治算法的正确性之前，我们先给出这个算法的描述：

假设n为偶数，将n片芯片两两一组做测试淘汰，剩下芯片构成子问题，进入下一轮分组淘汰。

淘汰规则为：

  • “好，好” ==> 任留1片，进入下轮
  • 其他情况 ==> 全部抛弃

递归截止条件：n<=3
3片芯片，一次测试可得到好芯片
1或者2片芯片，不需要再测试，他们都为好芯片。

上述算法过程就是我们给出的分治策略的设计。那么为什么上述的策略是正确的呢？

回忆一下，前面的文章，要保证分治策略的正确性的基本条件是：子问题与原问题性质相同。下面我们就来证明，上述分治策略的子问题与原问题性质相同。

1.41 分治算法的正确性证明

原问题：n片芯片，其中好芯片，至少比坏芯片多一片

那么子问题，命题1：当 n 是偶数时，在上述淘汰规则下，经过一轮淘汰，剩下的好芯片比坏芯片至少多1片

我们需要证明上述子问题的命题1是正确的。

证明：假设原问题中A，B都好的芯片有i组，A与B一好一坏的有j组，A与B都坏的有k组。那么经过一轮淘汰后，好芯片还剩i片，坏芯片还剩k片。

因为

  • 初始芯片总数 2i+2j+2k = n
  • 初始好芯片多于坏芯片：2i+j > 2k+j

得出：i>k

所以，剩余的芯片好芯片比坏芯片，至少多1片。命题1 是正确的。即证明了上述分治算法的正确性。

当n为奇数时，特殊处理。当n是奇数时，可能会出现问题，如图：
在这里插入图片描述
可见淘汰后的子问题并不满足于原问题性质相同，此时无法继续测试。

  • 处理办法是：当n为奇数时，增加一轮对轮空芯片的单独测试，如果该轮空芯片为好芯片则算法结束，如果是坏芯片，则淘汰该芯片。

下面给出上述分治算法的伪码描述：
在这里插入图片描述
补充说明：

  1. 第6点：if(1好1坏)，则说明测试的两个至少一个为坏，所以未参加测试的一定为好的
  2. 第7点：由于题目初始条件，好的芯片一定比坏的芯片多

1.42 时间复杂度分析

设输入规模为n，，每轮淘汰后，芯片数至少减半，测试次数（含轮空处理）：O(n)

时间复杂度：

W(n) = W(n/2) + O(n)
W(3)=1,W(2)=W(1)=0

解上述方程的得：W(n) = O(n)

结果很振奋人心，你已经将一个O(n^2)级别的算法优化为了O(n)O(n)O(n)级别!!!

2. 总结

最大的需要注意的地方就是：如何保证子问题与原问题性质相同:
可以：

  1. 增加额外处理（比如上述n为奇数时对轮空数据的处理）
  2. 额外处理的工作量，不改变函数的阶
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    #include<iostream>
    #include <cmath>
    #include <stdio.h>
    #include <time.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <cstring>
    #define MAX 100
    using namespace std;

    int main(){
        int n;
        int num1,num2,sum;
        int a[MAX],b[MAX];
        while(cin>>n){            
            srand(time(NULL));
            memset(a,0,sizeof(a));
            memset(b,0,sizeof(b));
            /*a数组标记芯片好坏，b数组记录被保留芯片编号*/
            for(int i=1;i<=n;i++){                    
                cin>>a[i];
                b[i]=i;
            }
            num1=n;
            num2=1;
            sum=0; 
            while(1){
                /*芯片只剩一片或两片则可以直接得到结果，结束循环*/
                if(num1<=2)                   
                    break;
                else if(num1%2){     /*芯片个数为奇数*/
                    for(int i=1;i<num1;i+=2){
                        sum++;            /*记录查找次数*/
                        if(a[b[i]]==1&&a[b[i+1]]==1)   /*两片芯片都是好的*/
                            b[num2++]=b[i+rand()%2];
                        /*两片芯片是坏的，rand模拟结果是好的这一随机现象*/
                        if(a[b[i]]==0&&a[b[i+1]]==0&&rand()%2)                                               
                          b[num2++]=b[i+rand()%2];
                      }
                      b[num2++]=b[num1];      /*最后一块芯片保留*/
                 }
                 else{                      /*芯片个数为偶数*/
                     for(int i=1;i<=num1;i+=2){
                        sum++;
                        if(a[b[i]]==1&&a[b[i+1]]==1)   /*两片芯片都是好的*/
                            b[num2++]=b[i+rand()%2];
                        if(a[b[i]]==0&&a[b[i+1]]==0&&rand()%2)  /*两片芯片是坏的*/
                           b[num2++]=b[i+rand()%2];
                      }
                 }
                 num1=num2-1;     /*一次比较后保留芯片的个数*/
                 num2=1;          /*下一次查找的开始位置*/
            }
            cout<<"查找次数："<<sum<<endl; 
            cout<<"找到的芯片编号："<<b[1]<<endl; 
        }
        return 0;
    }

参考链接：https://www.jianshu.com/p/1cec17bfb2d5
参考链接：https://blog.csdn.net/qq_37375427/article/details/102529005